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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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4. Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
a) $f(x)=\sqrt{2 x-3}$ en $x_{0}=6$

Respuesta

En el curso vimos que hay tres tipos de ejercicios de recta tangente que pueden tomarte. Este es el primer tipo, el ejercicio en que te piden "hallar la recta tangente", donde te dan de dato la función $f$ y $x_0$.

Te recomiendo que mires el video donde vemos este tema, porque te va a quedar mucho más claro, y vas a ver que todos los ejercicios de este tipo se resuelven siempre igual. ¡Empecemos!



1. Planteamos la ecuación de la recta tangente, que no es otra que la ecuación de una recta:

La ecuación de la recta es $y = mx + b$.


Para el punto $(x_0, y_0)$ nos queda:

$y_0 = mx_0 + b$

donde $m = f'(x_0)$ y $y_0 = f(x_0)$.



2. Sabemos que ✨$m = f'(x_0)$✨. Por lo que vamos a calcular la derivada de la función para poder hallar la pendiente $m$:


$f(x) = \sqrt{2x - 3}$


La derivada de $f(x)$ es:


$f'(x) = \left( \sqrt{2x - 3} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 3}} \cdot (2) = \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$



Ahora evaluamos la derivada en $x_0 = 6$ para obtener la pendiente de la tangente:


$m = f'(6) = \frac{1}{\sqrt{2(6) - 3}} = \frac{1}{\sqrt{12 - 3}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ 

$m = \frac{1}{3}$ 

 

3. Ahora calculemos $y_0 = f(x_0)$:


$f(x_0) = f(6)$


$f(6) = \sqrt{2(6) - 3} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3$


$f(6) = 3$  ->  $y_0 = 6$





4. Reemplacemos los valores de $m$, $x_0$ e $y_0$ en la ecuación de la recta para despejar $b$:


$y_0 = mx_0 + b$


$3 = \frac{1}{3} \cdot 6 + b$


$3 = 2 + b$


$b = 3 - 2$


$b= 1$





5. Reemplazamos los valores de $m$ y $b$ en la ecuación de la recta: $y = \frac{1}{3}x + 1$




La ecuación de la recta tangente al gráfico de $f$ en $x_0=6$ es: $y = \frac{1}{3}x + 1$
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Avatar alisson 24 de octubre 15:50
Buenas tardes profe Juli no entiendo por donde sale el (2) para multiplicar en la derivada, ¿no debe ser 1?, si es que es con la regla cadena.
Avatar Julieta Profesor 29 de octubre 19:18
@alisson Hola! Sale de que la derivada de $\sqrt{x}$ es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, o sea, de la misma derivada por tabla.
Avatar Magdalena 2 de junio 07:46
@Julieta entonces siempre hay q multiplicarlo por dos?
Avatar Fernando 11 de junio 20:05
Hola Profe!! Una consulta esto estaría bien derivado? pregunto porque yo utilice el resultado de mi derivada de F'(X) para hallar el valor de M(pendiente) y me dio lo mismo a como resolviste arriba. y todo el ejercicio me salio bien pero la derivada me quedo diferente.2024-06-11%2020:02:03_2666008.png
Avatar Julieta Profesor 17 de junio 12:26
@Fernando ¡Hola! Sí, está perfecto, es otra forma de expresarla pero son equivalentes ambas expresiones
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